پاسخ کار در کلاس صفحه 7 ریاضی یازدهم

رأس‌های مثلث: $A(1, 9)$, $B(3, 1)$, $C(7, 11)$. **الف) مختصات نقطهٔ وسط $M$ ضلع $BC$** از فرمول نقطهٔ وسط استفاده می‌کنیم: $M = \left(\frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2}\right)$. $$M = \left(\frac{3 + 7}{2}, \frac{1 + 11}{2}\right) = \left(\frac{10}{2}, \frac{12}{2}\right)$$ **مختصات $M$**: $$M(5, 6)$$ **ب) طول میانهٔ $AM$** طول میانه $AM$ (فاصلهٔ بین $A(1, 9)$ و $M(5, 6)$) از فرمول فاصلهٔ دو نقطه به دست می‌آید: $$AM = \sqrt{(x_M - x_A)^2 + (y_M - y_A)^2}$$ $$AM = \sqrt{(5 - 1)^2 + (6 - 9)^2}$$ $$AM = \sqrt{(4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25}$$ **طول میانه $AM$**: $$AM = 5$$ **پ) معادلهٔ خط شامل میانهٔ $AM$** ابتدا شیب خط $AM$ را با نقاط $A(1, 9)$ و $M(5, 6)$ محاسبه می‌کنیم: $$m_{AM} = \frac{y_M - y_A}{x_M - x_A} = \frac{6 - 9}{5 - 1} = \frac{-3}{4}$$ سپس با استفاده از شیب $m = -\frac{3}{4}$ و نقطهٔ $A(1, 9)$، معادلهٔ خط را به دست می‌آوریم ($y - y_A = m(x - x_A)$): $$y - 9 = -\frac{3}{4}(x - 1)$$ $4(y - 9) = -3(x - 1)$ $4y - 36 = -3x + 3$ **معادلهٔ خط $AM$**: $$3x + 4y = 39$$

**الف) یافتن مختصات نقطهٔ $A$** نقطهٔ $N(5, -4)$ وسط $AB$ است که $B(7, -2)$. اگر $A(x_A, y_A)$ باشد، از فرمول نقطهٔ وسط استفاده می‌کنیم: $$\frac{x_A + x_B}{2} = x_N \Rightarrow \frac{x_A + 7}{2} = 5$$ $$x_A + 7 = 10 \Rightarrow x_A = 3$$ $$\frac{y_A + y_B}{2} = y_N \Rightarrow \frac{y_A + (-2)}{2} = -4$$ $$y_A - 2 = -8 \Rightarrow y_A = -6$$ **مختصات نقطهٔ $A$**: $$A(3, -6)$$ **ب) قرینهٔ نقطهٔ $C(1, 2)$ نسبت به نقطهٔ $M(-1, 4)$** قرینهٔ $C$ نسبت به $M$، نقطه‌ای مانند $C'(x', y')$ است که $M$ نقطهٔ وسط پاره‌خط $CC'$ است: $$\frac{x_C + x_{C'}}{2} = x_M \Rightarrow \frac{1 + x'}{2} = -1$$ $$1 + x' = -2 \Rightarrow x' = -3$$ $$\frac{y_C + y_{C'}}{2} = y_M \Rightarrow \frac{2 + y'}{2} = 4$$ $$2 + y' = 8 \Rightarrow y' = 6$$ **قرینهٔ $C$ نسبت به $M$**: $$C'(-3, 6)$$ **پ) قرینهٔ نقطهٔ $P(\alpha, \beta)$ نسبت به مبدأ مختصات** قرینهٔ یک نقطه نسبت به مبدأ مختصات $O(0, 0)$، نقطه‌ای است که در آن علامت هر دو مؤلفه تغییر می‌کند (نقطهٔ وسط برابر $O$ است): $$\frac{\alpha + x'}{2} = 0 \Rightarrow \alpha + x' = 0 \Rightarrow x' = -\alpha$$ $$\frac{\beta + y'}{2} = 0 \Rightarrow \beta + y' = 0 \Rightarrow y' = -\beta$$ **قرینهٔ $P(\alpha, \beta)$ نسبت به مبدأ**: $$P'(-\alpha, -\beta)$$

نقاط روی نمودار: شروع در سال $x_1 = 1385$ با سود $y_1 = 57$ (میلیون تومان) و پایان در سال $x_2 = 1395$ با سود $y_2 = 103$ (میلیون تومان). **الف) میانگین سود سالانه در دههٔ مورد نظر** میانگین سود در یک روند خطی، برابر با مقدار سود در **نقطهٔ وسط** این بازهٔ زمانی است (میانگین مقادیر ابتدا و انتها): $$\text{میانگین سود} = \frac{\text{سود ابتدای دوره} + \text{سود انتهای دوره}}{2} = \frac{57 + 103}{2} = \frac{160}{2} = 80$$ **میانگین سود سالانه**: $$80 \text{ میلیون تومان}$$ **ب) سالی که سود سالانه با میانگین برابر بوده است** سود سالانه در نقطهٔ وسط زمانی، برابر با میانگین سود است. نقطهٔ وسط زمانی سال‌های ۱۳۸۵ و ۱۳۹۵ را محاسبه می‌کنیم: $$\text{سال میانی} = \frac{1385 + 1395}{2} = \frac{2780}{2} = 1390$$ **سال مورد نظر**: $$1390$$ **پ) انتظار سود در سال ۱۴۰۵** سال ۱۴۰۵، یک دهه ($10$ سال) پس از سال ۱۳۹۵ است. روند افزایش سود خطی است. * **میزان افزایش سود در دههٔ اول (۱۳۸۵ تا ۱۳۹۵)**: $103 - 57 = 46$ میلیون تومان. * **سود مورد انتظار در سال ۱۴۰۵** (با حفظ همان روند، یعنی افزایش ۴۶ میلیون تومانی نسبت به سال ۱۳۹۵): $$\text{سود } (1405) = \text{سود } (1395) + \text{افزایش یک دهه}$$ $$\text{سود } (1405) = 103 + 46 = 149$$ **سود مورد انتظار در سال ۱۴۰۵**: $$149 \text{ میلیون تومان}$$